Задача №1869

Решение

Первый способ

Пусть \(\displaystyle{x\in\left(A\backslash{B}\right)\cap{C}}\). Это значит, что \(\displaystyle{x\in{A\backslash{B}}}\), \(\displaystyle{x\in{C}}\). Из условия \(\displaystyle{x\in{A\backslash{B}}}\) имеем \(\displaystyle{x\in{A}}\), \(\displaystyle{x\notin{B}}\). Из условий \(\displaystyle{x\in{A}}\), \(\displaystyle{x\notin{B}}\), \(\displaystyle{x\in{C}}\) имеем \(\displaystyle{x\in\left(A\cap{C}\right)\backslash\left(B\cap{C}\right)}\). Таким образом, \(\displaystyle{\left(A\backslash{B}\right)\cap{C}\subset\left(A\cap{C}\right)\backslash\left(B\cap{C}\right)}\).

Пусть \(\displaystyle{x\in\left(A\cap{C}\right)\backslash\left(B\cap{C}\right)}\). Это значит, что \(\displaystyle{x\in{A\cap{C}}}\), \(\displaystyle{x\notin{B\cap{C}}}\). Так как \(\displaystyle{x\in{A\cap{C}}}\), то \(\displaystyle{x\in{A}}\), \(\displaystyle{x\in{C}}\). Так как \(\displaystyle{x\notin{B\cap{C}}}\) и \(\displaystyle{x\in{C}}\), то \(\displaystyle{x\notin{B}}\). Итак, \(\displaystyle{x\in{A}}\), \(\displaystyle{x\notin{B}}\), \(\displaystyle{x\in{C}}\), то \(\displaystyle{x\in\left(A\backslash{B}\right)\cap{C}}\). Итак, \(\displaystyle{\left(A\cap{C}\right)\backslash\left(B\cap{C}\right)\subset\left(A\backslash{B}\right)\cap{C}}\).

Исходя из вышеизложенного, имеем \(\displaystyle{\left(A\backslash{B}\right)\cap{C}=\left(A\cap{C}\right)\backslash\left(B\cap{C}\right)}\).

Второй способ

Составим таблицу принадлежности:

Совпадение соответствующих столбцов говорит о том, что равенство верно.