Задача №1868

Решение

Первый способ

Пусть \(\displaystyle{x\in\left(A\backslash{B}\right)\backslash{C}}\). Это значит, что \(\displaystyle{x\in{A\backslash{B}}}\), \(\displaystyle{x\notin{C}}\). Из условия \(\displaystyle{x\in{A\backslash{B}}}\) имеем \(\displaystyle{x\in{A}}\), \(\displaystyle{x\notin{B}}\). Из условий \(\displaystyle{x\in{A}}\), \(\displaystyle{x\notin{B}}\), \(\displaystyle{x\notin{C}}\) следует \(\displaystyle{x\in{A\backslash\left(B\cup{C}\right)}}\). Таким образом, \(\displaystyle{\left(A\backslash{B}\right)\backslash{C}\subset{A\backslash\left(B\cup{C}\right)}}\).

Пусть \(\displaystyle{x\in{A\backslash\left(B\cup{C}\right)}}\). Это значит, что \(\displaystyle{x\in{A}}\), \(\displaystyle{x\notin{B\cup{C}}}\). Из условия \(\displaystyle{x\notin{B\cup{C}}}\) имеем \(\displaystyle{x\notin{B}}\), \(\displaystyle{x\notin{C}}\). Из условий \(\displaystyle{x\in{A}}\), \(\displaystyle{x\notin{B}}\), \(\displaystyle{x\notin{C}}\) получаем \(\displaystyle{x\in\left(A\backslash{B}\right)\backslash{C}}\). Следовательно, \(\displaystyle{A\backslash\left(B\cup{C}\right)\subset\left(A\backslash{B}\right)\backslash{C}}\).

Из вышеизложенного имеем \(\displaystyle{\left(A\backslash{B}\right)\backslash{C}=A\backslash\left(B\cup{C}\right)}\).

Второй способ

Составим таблицу принадлежности:

Совпадение соответствующих столбцов говорит о том, что равенство верно.