Задача №1867

Решение

Первый способ

Пусть \(\displaystyle{x\in\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)}\). Тогда \(\displaystyle{x\in{A\backslash{B}}}\) или \(\displaystyle{x\in{B\backslash{A}}}\). Если \(\displaystyle{x\in{A\backslash{B}}}\), то \(\displaystyle{x\in{A}}\) и \(\displaystyle{x\notin{B}}\). Если \(\displaystyle{x\in{B\backslash{A}}}\), то \(\displaystyle{x\in{B}}\), \(\displaystyle{x\notin{A}}\). В любом из этих двух случаев имеем \(\displaystyle{x\in{A\cup{B}}}\), \(\displaystyle{x\notin{A\cap{B}}}\), поэтому \(\displaystyle{x\in\left(A\cup{B}\right)\backslash\left(A\cap{B}\right)}\). Это значит, что \(\displaystyle{\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)\subset\left(A\cup{B}\right)\backslash\left(A\cap{B}\right)}\).

Пусть \(\displaystyle{x\in\left(A\cup{B}\right)\backslash\left(A\cap{B}\right)}\), тогда \(\displaystyle{x\in{A\cup{B}}}\), \(\displaystyle{x\notin{A\cap{B}}}\). Так как \(\displaystyle{x\in{A\cup{B}}}\), то \(\displaystyle{x\in{A}}\) или \(\displaystyle{x\in{B}}\). Если \(\displaystyle{x\in{A}}\), то из условия \(\displaystyle{x\notin{A\cap{B}}}\) имеем \(\displaystyle{x\notin{B}}\), поэтому \(\displaystyle{x\in\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)}\). Аналогично, если \(\displaystyle{x\in{B}}\), то из условия \(\displaystyle{x\notin{A\cap{B}}}\) имеем \(\displaystyle{x\notin{A}}\), поэтому \(\displaystyle{x\in\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)}\). Таким образом, \(\displaystyle{\left(A\cup{B}\right)\backslash\left(A\cap{B}\right)\subset\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)}\).

Исходя из вышеизложенного, имеем \(\displaystyle{\left(A\backslash{B}\right)\cup\left(B\backslash{A}\right)=\left(A\cup{B}\right)\backslash\left(A\cap{B}\right)}\).

Второй способ

Покажем, что характеристические функции левой и правой частей равенства совпадают.

Характеристические функции левой и правой частей равенства совпадают. Следовательно, равенство верно.