Задача №1866

Решение

Первый способ

Пусть \(\displaystyle{x\in{A\backslash\left(A\backslash{B}\right)}}\), тогда одновременно выполнены условия \(\displaystyle{x\in{A}}\) и \(\displaystyle{x\notin{A\backslash{B}}}\). Предположим, что \(\displaystyle{x\notin{B}}\). Тогда ввиду \(\displaystyle{x\in{A}}\) получим \(\displaystyle{x\in{A\backslash{B}}}\), что противоречит условию \(\displaystyle{x\notin{A\backslash{B}}}\). Вывод: \(\displaystyle{x\in{B}}\). Так как \(\displaystyle{x\in{A}}\) и \(\displaystyle{x\in{B}}\), то \(\displaystyle{x\in{A\cap{B}}}\), т.е. \(\displaystyle{A\backslash\left(A\backslash{B}\right)\subset{A\cap{B}}}\).

Пусть \(\displaystyle{x\in{A\cap{B}}}\), тогда \(\displaystyle{x\in{A}}\) и \(\displaystyle{x\in{B}}\). Следовательно, \(\displaystyle{x\notin{A\backslash{B}}}\). Так как \(\displaystyle{x\in{A}}\) и \(\displaystyle{x\notin{A\backslash{B}}}\), то \(\displaystyle{x\in{A\backslash\left(A\backslash{B}\right)}}\), т.е. \(\displaystyle{A\cap{B}\subset{A\backslash\left(A\backslash{B}\right)}}\).

Так как \(\displaystyle{A\backslash\left(A\backslash{B}\right)\subset{A\cap{B}}}\) и \(\displaystyle{A\cap{B}\subset{A\backslash\left(A\backslash{B}\right)}}\), то \(\displaystyle{A\backslash\left(A\backslash{B}\right)=A\cap{B}}\).

Второй способ

С помощью равенств с множествами можно левую часть равенства преобразовать к правой. Я не уверен, что данную задачу допустимо решать этим путём, так как, по идее, каждую используемую формулу предварительно надо доказать. В решении дальнейших примеров этот способ задействовать не станем.

Третий способ

Запишем таблицу принадлежности:

Совпадение последних двух столбцов говорит о том, что \(\displaystyle{A\backslash\left(A\backslash{B}\right)=A\cap{B}}\).

Четвёртый способ

Используем характеристические функции. Покажем, что для любого элемента \(\displaystyle{x}\) характеристическая функция множества в левой части равенства совпадает с характеристической функцией множества в правой части:

Равенство доказано.