Задача №1865

Решение

Первый способ

Докажем, что при \(\displaystyle{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}\) имеем \(\displaystyle{C\subset{A}}\).

Пусть это не так, т.е. множество \(\displaystyle{C}\) не является подмножеством множества \(\displaystyle{A}\). Тогда существует элемент \(\displaystyle{x\in{C}}\) такой, что \(\displaystyle{x\notin{A}}\). Ввиду того, что \(\displaystyle{x\notin{A}}\), получим, что \(\displaystyle{x\notin{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}}\). Однако из условия \(\displaystyle{x\in{C}}\) имеем \(\displaystyle{x\in{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}}\), т.е. равенство \(\displaystyle{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}\) будет нарушено. Это говорит о том, что сделанное допущение неверно, т.е. \(\displaystyle{C\subset{A}}\).

Докажем, что при условии \(\displaystyle{C\subset{A}}\) верно равенство \(\displaystyle{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}\).

Пусть \(\displaystyle{x\in{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}}\). Это значит, что \(\displaystyle{x\in{A}}\) и \(\displaystyle{x\notin{B\backslash{C}}}\). Однако условие \(\displaystyle{x\notin{B\backslash{C}}}\) может быть выполнено всего в двух случаях: \(\displaystyle{x\notin{B}}\) или \(\displaystyle{x\in{B}}\) и \(\displaystyle{x\in{C}}\). Таким образом, если \(\displaystyle{x\in{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}}\), то выполнено какое-либо из двух условий:

1. \(\displaystyle{x\in{A}}\), \(\displaystyle{x\notin{B}}\)
2. \(\displaystyle{x\in{A}}\), \(\displaystyle{x\in{B}}\), \(\displaystyle{x\in{C}}\)

При выполнении условия №1 имеем, что \(\displaystyle{x\in{A\backslash{B}}}\), поэтому \(\displaystyle{x\in{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}}\). При выполнении условия №2 имеем \(\displaystyle{x\in{C}}\), что означает \(\displaystyle{x\in{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}}\). Таким образом \(\displaystyle{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)\subset\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}\).

Пусть теперь \(\displaystyle{x\in{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}}\). Это значит, что \(\displaystyle{x\in{A\backslash{B}}}\) или \(\displaystyle{x\in{C}}\).

Если \(\displaystyle{x\in{A\backslash{B}}}\), то \(\displaystyle{x\in{A}}\) и \(\displaystyle{x\notin{B}}\). Так как \(\displaystyle{x\notin{B}}\), то \(\displaystyle{x\notin{B\backslash{C}}}\), поэтому \(\displaystyle{x\in{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}}\).

Если \(\displaystyle{x\in{C}}\), то с учётом \(\displaystyle{C\subset{A}}\) имеем \(\displaystyle{x\in{A}}\). Так как \(\displaystyle{x\in{C}}\), в любом случае (\(\displaystyle{x\in{B}}\) или \(\displaystyle{x\notin{B}}\)) имеем \(\displaystyle{x\notin{B\backslash{C}}}\). Ввиду \(\displaystyle{x\in{A}}\) имеем, что \(\displaystyle{x\in{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}}\), т.е. \(\displaystyle{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}\subset{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}}\).

Из условий \(\displaystyle{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)\subset\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}\) и \(\displaystyle{\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}\subset{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)}}\) имеем \(\displaystyle{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}\).

Второй способ

Пусть \(\displaystyle{\chi_{A}}\), \(\displaystyle{\chi_{B}}\) и \(\displaystyle{\chi_{C}}\) – характеристические функции множеств \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\) и \(\displaystyle{C}\) соответственно. Рассмотрим такие предикаты:

Покажем, что предикат \(\displaystyle{R=\left(A_1\leftrightarrow{A_2}\right)\leftrightarrow{A_3}}\) будет истинным на всех восьми наборах \(\displaystyle{\left(\chi_{A}(x);\;\chi_{B}(x);\;\chi_{C}(x)\right)}\).

Следовательно, предикат \(\displaystyle{R}\) является тождественно истинным. Это значит, что равенство \(\displaystyle{A\backslash\left(B\backslash{C}\right)=\left(A\backslash{B}\right)\cup{C}}\) верно тогда и только тогда, когда \(\displaystyle{C\subset{A}}\).