Задача №1858

Решение

Запишем это уравнение в таком виде: \(\displaystyle{xy''+y'=y'e^y}\), что равносильно \(\displaystyle{\left(xy'\right)'=\left(e^y\right)'}\), откуда \(\displaystyle{xy'=e^y-C_1}\).

Рассмотрим случай \(\displaystyle{e^y-C_1=0}\). Если \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\), то \(\displaystyle{y=\ln{C_1}}\). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функции \(\displaystyle{y=\ln{C_1}}\) – решения уравнения \(\displaystyle{xy'=e^y-C_1}\).

Пусть теперь \(\displaystyle{C_1=0}\), тогда \(\displaystyle{xy'=e^y}\), \(\displaystyle{e^{-y}dy=\frac{dx}{x}}\), откуда \(\displaystyle{-e^{-y}=\ln|x|-C_2}\), \(\displaystyle{y=-\ln\left(C_2-\ln|x|\right)}\).

Рассмотрим случай \(\displaystyle{C_1\neq{0}}\), при этом, если \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\), то \(\displaystyle{y\neq\ln{C_1}}\). Разделяя переменные в уравнении \(\displaystyle{xy'=e^y-C_1}\), будем иметь:

Из полученного выражения имеем \(\displaystyle{C_1e^{-y}-1=\pm{e^{C_2}}\cdot{e^{C_1\ln|x|}}}\). Переобозначая \(\displaystyle{\pm{e^{C_2}}}\) как \(\displaystyle{C_2}\), где \(\displaystyle{C_2\in{R}\setminus\{0\}}\), получим:

Решения \(\displaystyle{y=\ln{C_1}}\), найденные ранее, можно получить из выражения \(\displaystyle{y=-\ln\left(\frac{C_2}{C_1}e^{C_1\ln|x|}+\frac{1}{C_1}\right)}\) при \(\displaystyle{C_2=0}\) и \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\). Следовательно, условие \(\displaystyle{C_2\in{R}\setminus\{0\}}\) можно изменить на \(\displaystyle{C_2\in{R}}\).