Задача №1857

Решение

Замена: \(\displaystyle{y'=p(y)}\), \(\displaystyle{y''=p'p}\):

Функция \(\displaystyle{p=0}\) является решением уравнения \(\displaystyle{yp'-p=0}\), поэтому отдельно разбирать случай \(\displaystyle{p=0}\) нет необходимости. Рассмотрим уравнение \(\displaystyle{yp'-p=0}\). При \(\displaystyle{p\neq{0}}\) будем иметь:

Здесь \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\). Переобозначая \(\displaystyle{\pm{C_1}}\) как \(\displaystyle{C_1}\), получим: \(\displaystyle{p=C_1y}\), где \(\displaystyle{C_1\in{R}\setminus\{0\}}\). Решение \(\displaystyle{p=0}\) можно получить из выражения \(\displaystyle{p=C_1y}\) при \(\displaystyle{C_1=0}\), поэтому условие \(\displaystyle{C_1\in{R}\setminus\{0\}}\) можно изменить: \(\displaystyle{C_1\in{R}}\).

Так как \(\displaystyle{p=y'}\), то \(\displaystyle{y'=C_1y}\). Функция \(\displaystyle{y=0}\) – решение данного уравнения. При \(\displaystyle{y\neq{0}}\) получим:

Переобозначая \(\displaystyle{\pm{e}^{C_2}}\) как \(\displaystyle{C_2}\), получим: \(\displaystyle{y=C_2{e}^{C_1x}}\), где \(\displaystyle{C_2\in{R}\setminus\{0\}}\). Решение \(\displaystyle{y=0}\) можно получить из выражения \(\displaystyle{y=C_2{e}^{C_1x}}\) при \(\displaystyle{C_2=0}\), поэтому условие \(\displaystyle{C_2\in{R}\setminus\{0\}}\) можно изменить: \(\displaystyle{C_2\in{R}}\).