Задача №1856
Условие
Найти общее решение уравнения \(\displaystyle{yy''+\left(y'\right)^2=1}\).
Решение
Так как \(\displaystyle{\left(yy'\right)'=yy''+\left(y'\right)^2}\), то получим:
\[
\left(yy'\right)'=1;\;
yy'=x+C_1;\;
ydy=\left(x+C_1\right)dx.\\
\int{y}dy=\int\left(x+C_1\right)dx;\;
\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C_1x+C_2.
\]
Домножая обе части последнего равенства на 2 и переобозначая константы, получим:
\[
y^2=x^2+C_1x+C_2;\;
x^2-y^2+C_1x+C_2=0.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{x^2-y^2+C_1x+C_2=0}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №14 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №3 | Уравнения второго и высших порядков |
| Задача №4171 |