Задача №1855
Найти общее решение уравнения \(xy''=y'\).
Замена \(y'=p(x)\), \(y''=p'\) приводит к уравнению \(xp'=p\). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что \(p=0\) – решение полученного уравнения. При условии \(p\neq{0}\) разделяем переменные и интегрируем:
Из последнего равенства имеем \(|p|=\overline{C}_1\cdot|x|\), т.е. \(p=\pm\overline{C}_1{x}\). Переобозначая \(\pm\overline{C}_1\) как \(C_1\), где \(C_1\in{R}\setminus\{0\}\), получим \(p=C_1x\).
Решение \(p=0\), найденное ранее, можно получить из выражения \(p=C_1x\) при \(C_1=0\). Следовательно, условие \(C_1\in{R}\setminus\{0\}\) можно изменить, приняв \(C_1\in{R}\).
Итак, \(p=C_1x\), где \(C_1\in{R}\). Вспоминая, что \(y'=p\), получим:
Переобозначая \(\frac{C_1}{2}\) как \(C_1\), получим общее решение: \(y=C_1x^2+C_2\).