Задача №1855

Решение

Замена \(\displaystyle{y'=p(x)}\), \(\displaystyle{y''=p'}\) приводит к уравнению \(\displaystyle{xp'=p}\). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что \(\displaystyle{p=0}\) – решение полученного уравнения. При условии \(\displaystyle{p\neq{0}}\) разделяем переменные и интегрируем:

Из последнего равенства имеем \(\displaystyle{|p|=\overline{C}_1\cdot|x|}\), т.е. \(\displaystyle{p=\pm\overline{C}_1{x}}\). Переобозначая \(\displaystyle{\pm\overline{C}_1}\) как \(\displaystyle{C_1}\), где \(\displaystyle{C_1\in{R}\setminus\{0\}}\), получим \(\displaystyle{p=C_1x}\).

Решение \(\displaystyle{p=0}\), найденное ранее, можно получить из выражения \(\displaystyle{p=C_1x}\) при \(\displaystyle{C_1=0}\). Следовательно, условие \(\displaystyle{C_1\in{R}\setminus\{0\}}\) можно изменить, приняв \(\displaystyle{C_1\in{R}}\).

Итак, \(\displaystyle{p=C_1x}\), где \(\displaystyle{C_1\in{R}}\). Вспоминая, что \(\displaystyle{y'=p}\), получим:

Переобозначая \(\displaystyle{\frac{C_1}{2}}\) как \(\displaystyle{C_1}\), получим общее решение: \(\displaystyle{y=C_1x^2+C_2}\).