Задача №1850
Условие
Найти общее решение уравнения \(\displaystyle{y'+2xy=xe^{-x^2}}\).
Решение
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Полагая \(\displaystyle{y=uv}\), получим \(\displaystyle{y'=u'v+uv'}\):
\[
u'v+uv'+2xuv=xe^{-x^2};\;u'v+u\cdot\left(v'+2xv\right)=xe^{-x^2}.\\
v'+2xv=0;\;\frac{dv}{dx}=-2xv;\;\frac{dv}{v}=-2xdx;\;\ln|v|=-x^2;\;v=e^{-x^2}.\\
u'e^{-x^2}=xe^{-x^2};\;u'=x;\;u=\int{xdx}=\frac{x^2}{2}+C.\\
y=uv=\left(\frac{x^2}{2}+C\right)e^{-x^2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{y=\left(\frac{x^2}{2}+C\right)e^{-x^2}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №14 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №1 | Уравнения первого порядка |
| Задача №3955 |