Задача №1848

Решение

Это однородное дифференциальное уравнение. Осуществляя замену \(\displaystyle{y=ux}\), \(\displaystyle{y=u'x+u}\), получим:

Здесь \(\displaystyle{u\gt{0}}\). Из равенства \(\displaystyle{\ln{u}-1=0}\) имеем \(\displaystyle{u=1}\). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что \(\displaystyle{u=1}\) – решение уравнения \(\displaystyle{x\frac{du}{dx}=u\left(\ln{u}-1\right)}\). При условии \(\displaystyle{u\neq{0}}\) разделяем переменные и интегрируем:

Здесь \(\displaystyle{C\gt{0}}\). Из последнего равенства имеем \(\displaystyle{\ln{u}-1=\pm{C}x}\). Переобозначая \(\displaystyle{\pm{C}}\) как \(\displaystyle{C}\), где \(\displaystyle{C\in{R}\setminus\{0\}}\), получим:

Решение \(\displaystyle{u=1}\), найденное ранее, можно получить из выражения \(\displaystyle{u=e^{Cx+1}}\) при \(\displaystyle{C=0}\). Значит, условие \(\displaystyle{C\in{R}\setminus\{0\}}\) можно изменить, приняв \(\displaystyle{C\in{R}}\). Далее, так как \(\displaystyle{u=\frac{y}{x}}\), то будем иметь: