Задача №1847
Условие
Найти общее решение уравнения \(\displaystyle{y'=e^{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}}\).
Решение
Это однородное дифференциальное уравнение. Осуществляя замену \(\displaystyle{y=ux}\), \(\displaystyle{y=u'x+u}\), получим:
\[
u'x+u=e^u+u;\;
x\frac{du}{dx}=e^u;\;
e^{-u}du=\frac{dx}{x}.
\]
\[
\int{e}^{-u}du=\int\frac{dx}{x};\\
-e^{-u}=\ln|x|-C;\;
e^{-\frac{y}{x}}=C-\ln|x|;\;
y=-x\ln\left(C-\ln|x|\right).
\]
Ответ:
\(\displaystyle{y=-x\ln\left(C-\ln|x|\right)}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №14 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №1 | Уравнения первого порядка |
| Задача №3941 |