Задача №1846
Условие
Найти общее решение уравнения \(\displaystyle{y'=\frac{x+y}{x-y}}\).
Решение
Осуществляя замену \(\displaystyle{y=ux}\), \(\displaystyle{y=u'x+u}\), получим:
\[
u'x+u=\frac{1+u}{1-u};\;
x\frac{du}{dx}=\frac{1+u^2}{1-u};\;
\frac{1-u}{1+u^2}du=\frac{dx}{x}.
\]
\[
\int\left(\frac{1}{1+u^2}-\frac{u}{1+u^2}\right)du=\int\frac{dx}{x};\;\\
\arctg{u}-\frac{1}{2}\ln\left(1+u^2\right)=\ln|x|+\frac{1}{2}C;\;
2\arctg\frac{y}{x}-\ln\left(x^2+y^2\right)=C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{2\arctg\frac{y}{x}-\ln\left(x^2+y^2\right)=C}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №14 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №1 | Уравнения первого порядка |
| Задача №3935 |