Задача №1845

Решение

Осуществляя замену \(\displaystyle{y=ux}\), \(\displaystyle{y=u'x+u}\), получим:

Рассмотрим случай \(\displaystyle{u^2-u-2=0}\), т.е. \(\displaystyle{u=-1}\) или \(\displaystyle{u=2}\). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что данные функции являются решениями уравнения \(\displaystyle{xdu=\left(u^2-u-2\right)dx}\). Соответственно, функции \(\displaystyle{y=-x}\) и \(\displaystyle{y=2x}\) – решения исходного уравнения.

Исключая варианты \(\displaystyle{u=-1}\), \(\displaystyle{u=2}\) и полагая \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\), получим:

Раскрывая модули и переобозначая \(\displaystyle{C=\pm{C_1}}\), \(\displaystyle{C\neq{0}}\), получим:

Полагая \(\displaystyle{C=0}\) в найденном выражении, получим \(\displaystyle{y=2x}\).