Задача №1844
Условие
Решить уравнение \(\displaystyle{y'\sqrt{1+x+y}=x+y-1}\).
Решение
Полагая \(\displaystyle{u=\sqrt{x+y+1}}\), \(\displaystyle{u\ge{0}}\), получим \(\displaystyle{y=u^2-x-1}\), \(\displaystyle{y'=2uu'-1}\).
\[
\left(2uu'-1\right)u=u^2-2;\;
2u^2\cdot{u'}=u^2+u-2.
\]
Перед разделением переменных рассмотрим случай \(\displaystyle{u^2+u-2=0}\), т.е. \(\displaystyle{u=1}\). Непосредственной проверкой несложно убедиться, что эта функция является решением уравнения \(\displaystyle{2u^2\cdot{u'}=u^2+u-2}\). Следовательно, функция \(\displaystyle{y=-x}\) является решением исходного уравнения. При условии \(\displaystyle{u\neq{1}}\), получим:
\[
\int\frac{2u^2}{u^2+u-2}=\int{dx};\\
2u+\frac{2}{3}\ln|u-1|-\frac{8}{3}\ln(u+2)=x+C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{2u+\frac{2}{3}\ln|u-1|-\frac{8}{3}\ln(u+2)=x+C}\), где \(\displaystyle{u=\sqrt{x+y+1}}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №14 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №1 | Уравнения первого порядка |
| Задача №3933 |