Задача №1843

Решение

Полагая \(\displaystyle{u=3x-2y+5}\), получим \(\displaystyle{y=\frac{3x-u+5}{2}}\), \(\displaystyle{y'=\frac{3}{2}-\frac{u'}{2}}\).

Перед разделением переменных рассмотрим случай \(\displaystyle{3-2u=0}\), т.е. \(\displaystyle{u=\frac{3}{2}}\). Непосредственной проверкой несложно убедиться, что эта функция является решением уравнения \(\displaystyle{u'=3-2u}\). Следовательно, функция \(\displaystyle{y=\frac{3x}{2}+\frac{7}{4}}\) является решением исходного уравнения. При условии \(\displaystyle{u\neq\frac{3}{2}}\), получим:

Здесь \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\). Упростим полученное выражение:

Переобозначая \(\displaystyle{-4C=\pm{C_1}}\), \(\displaystyle{C\neq{0}}\), получим \(\displaystyle{6x-4y+7=-4C\cdot{e^{-2x}}}\), \(\displaystyle{y=\frac{3x}{2}+\frac{7}{4}+C\cdot{e^{-2x}}}\). Из данного решения при \(\displaystyle{C=0}\) можно получить функцию \(\displaystyle{y=\frac{3x}{2}+\frac{7}{4}}\), найденную ранее.