Задача №1842
Условие
Решить уравнение \(\displaystyle{y'=\cos(x-y)}\).
Решение
Полагая \(\displaystyle{u=x-y}\), получим \(\displaystyle{y=x-u}\), \(\displaystyle{y'=1-u'}\).
\[
1-u'=\cos{u};\;\frac{du}{dx}=1-\cos{u}.
\]
Перед разделением переменных рассмотрим случай \(\displaystyle{\cos{u}=1}\), т.е. \(\displaystyle{u=2\pi{n}}\), \(\displaystyle{n\in{Z}}\). Непосредственной проверкой несложно убедиться, что эти функции являются решениями уравнения \(\displaystyle{u'=1-\cos{u}}\). Следовательно, функции \(\displaystyle{y=x-2\pi{n}}\) являются решениями исходного уравнения. При условии \(\displaystyle{1-\cos{u}\neq{0}}\), получим:
\[
\frac{du}{1-\cos{u}}=dx;\; \int\frac{du}{2\sin^2\frac{u}{2}}=\int{dx};\\
-\ctg\frac{u}{2}=x-C;\;x+\ctg\frac{x-y}{2}=C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{y=x-2\pi{n}}\) (\(\displaystyle{n\in{Z}}\)); \(\displaystyle{x+\ctg\frac{x-y}{2}=C}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №14 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №1 | Уравнения первого порядка |
| Задача №3931 |