Задача №1841
Условие
Найти частное решение дифференциального уравнения \(\displaystyle{y'\sin{x}=y\ln{y}}\), удовлетворяющее начальному условию \(\displaystyle{\left.y\right|_{x=\pi/2}=e}\).
Решение
Функция \(\displaystyle{y=1}\) является решением, но не удовлетворяет начальному условию. При \(\displaystyle{y\neq{1}}\) разделяем переменные:
\[
\frac{dy}{y\ln{y}}=\frac{dx}{\sin{x}};\quad
\int\frac{d(\ln{y})}{\ln{y}}=\int\frac{dx}{\sin{x}}.\\
\ln|\ln{y}|=\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+\ln{C_1};\quad
\ln|\ln{y}|=\ln\left(C_1\left|\tg\frac{x}{2}\right|\right);\quad
\ln{y}=\pm{C_1}\tg\frac{x}{2};\quad
y=e^{\pm{C_1}\cdot\tg\frac{x}{2}}.
\]
Здесь \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\). Переобозначая \(\displaystyle{\pm{C_1}}\) как \(\displaystyle{C}\), где \(\displaystyle{C\in{R}\setminus\{0\}}\), получим: \(\displaystyle{y=e^{C\tg\frac{x}{2}}}\). Исходя из начального условия, имеем: \(\displaystyle{e=e^C}\), откуда \(\displaystyle{C=1}\). Следовательно, \(\displaystyle{y=e^{\tg\frac{x}{2}}}\).
Ответ:
\(\displaystyle{y=e^{\tg\frac{x}{2}}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №14 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №1 | Уравнения первого порядка |
| Задача №3913 |