Задача №1840
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения \(\displaystyle{y'+\sin\frac{x+y}{2}=\sin\frac{x-y}{2}}\).
Решение
\[
y'=\sin\frac{x-y}{2}-\sin\frac{x+y}{2}
=-2\sin\frac{y}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}.
\]
Функции вида \(\displaystyle{y=2\pi{k}}\), где \(\displaystyle{k\in{Z}}\) являются решениями данного уравнения. При условии \(\displaystyle{y\neq{2\pi{k}}}\) разделяем переменные:
\[
\frac{dy}{2\sin\frac{y}{2}}
=-\cos\frac{x}{2}dx;\;
\int\frac{dy}{2\sin\frac{y}{2}}
=-\int\cos\frac{x}{2}dx;\;
\ln\left|\tg\frac{y}{4}\right|
=C-2\sin\frac{x}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln\left|\tg\frac{y}{4}\right|=C-2\sin\frac{x}{2}}\), \(\displaystyle{y=2\pi{k}}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №14 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №1 | Уравнения первого порядка |
| Задача №3910 |