Задача №1838
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения \(\displaystyle{e^{-s}\cdot\left(1+\frac{ds}{dt}\right)=1}\).
Решение
\[
1+\frac{ds}{dt}=e^s;\; \frac{ds}{dt}=e^s-1.
\]
Подстановкой убеждаемся, что \(\displaystyle{s=0}\) – решение данного уравнения. При условии \(\displaystyle{s\neq{0}}\) получим:
\[
\frac{ds}{e^s-1}=dt;\;\int\frac{ds}{e^s-1}=\int{dt}.
\]
Отдельно рассмотрим первый интеграл:
\[
\int\frac{ds}{e^s-1}
=\int\frac{e^{-s}ds}{1-e^{-s}}
=\int\frac{d\left(e^{-s}-1\right)}{e^{-s}-1}
=\ln\left|e^{-s}-1\right|+C.
\]
Возвращаясь к предыдущему равенству, получим:
\[
\ln\left|e^{-s}-1\right|=t+C_1;\; \left|e^{-s}-1\right|=e^{C_1}\cdot{e^t};\;e^{-s}-1=\pm{e^{C_1}}\cdot{e^t}.
\]
Переобозначая \(\displaystyle{C=\pm{e^{C_1}}}\) (здесь \(\displaystyle{C\neq{0}}\)), получим:
\[
e^{-s}-1=C\cdot{e^t};\;s=-\ln\left(Ce^t+1\right).
\]
Решение \(\displaystyle{s=0}\), указанное ранее, можно получить из выражения \(\displaystyle{s=-\ln\left(Ce^t+1\right)}\), положив \(\displaystyle{C=0}\).
Ответ:
\(\displaystyle{s=-\ln\left(Ce^t+1\right)}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №14 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №1 | Уравнения первого порядка |
| Задача №3908 |