Задача №1837
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения \(\displaystyle{\sqrt{1-y^2}dx+y\sqrt{1-x^2}dy=0}\).
Решение
Подстановкой убеждаемся, что \(\displaystyle{y=-1}\), \(\displaystyle{y=1}\), \(\displaystyle{x=-1}\), \(\displaystyle{x=1}\) – решения данного уравнения. При условии \(\displaystyle{-1\lt{y}\lt{1}}\) и \(\displaystyle{-1\lt{x}\lt{1}}\) получим:
\[
-\frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};
\]
\[
-\int\frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}}=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};\;\frac{1}{2}\cdot\int\left(1-y^2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-y^2\right)=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.
\]
\[
\sqrt{1-y^2}=\arcsin{x}+C;\;\sqrt{1-y^2}-\arcsin{x}=C.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\sqrt{1-y^2}-\arcsin{x}=C}\), \(\displaystyle{y=-1}\), \(\displaystyle{y=1}\), \(\displaystyle{x=-1}\), \(\displaystyle{x=1}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №14 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №1 | Уравнения первого порядка |
| Задача №3907 |