Задача №1836

Условие

Найти общее решение дифференциального уравнения \(\displaystyle{y'+\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}=0}\).

Решение

Подстановкой убеждаемся, что \(\displaystyle{y=-1}\) и \(\displaystyle{y=1}\) – решения данного уравнения. Дальнейшие преобразования ведём при условии \(\displaystyle{y\neq{-1}}\) и \(\displaystyle{y\neq{1}}\). При \(\displaystyle{-1\lt{x}\lt{1}}\), \(\displaystyle{-1\lt{y}\lt{1}}\) будем иметь:

\[ \frac{dy}{dx}+\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}=0;\; \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. \]

\[ \int\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=-\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};\;\arcsin{x}+\arcsin{y}=C;\; C\in\left(-\pi;\pi\right) \]

Если же \(\displaystyle{x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)}\), \(\displaystyle{y\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)}\), то получим:

\[ \frac{dy}{dx}+\sqrt{\frac{y^2-1}{x^2-1}}=0;\; \frac{dy}{\sqrt{y^2-1}}=-\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}. \]

При условии \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\) будем иметь:

\[ \int\frac{dy}{\sqrt{y^2-1}}=-\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}};\;\ln\left|y+\sqrt{y^2-1}\right|+\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|=\ln{C_1}. \]

Переобозначая \(\displaystyle{C=\pm{C_1}}\) (здесь \(\displaystyle{C\neq{0}}\)), получим:

\[ \left|\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right|=C_1;\; \left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)=C. \]

Ответ:

\(\displaystyle{\arcsin{x}+\arcsin{y}=C}\), \(\displaystyle{\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)=C}\), \(\displaystyle{y=-1}\), \(\displaystyle{y=1}\).

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №14	Дифференциальные уравнения
Параграф №1	Уравнения первого порядка
Задача №3906