Задача №1835
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения \(\displaystyle{xy'+y=y^2}\).
Решение
Подстановкой убеждаемся, что \(\displaystyle{y=0}\) и \(\displaystyle{y=1}\) – решения данного уравнения. При условии \(\displaystyle{y\neq{0}}\) и \(\displaystyle{y\neq{1}}\) получим:
\[
x\frac{dy}{dx}=y^2-y;\; \frac{dy}{y^2-y}=\frac{dx}{x}.
\]
\[
\int\frac{dy}{y^2-y}=\int\frac{dx}{x};\; \int\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}\right)dy=\int\frac{dx}{x}.
\]
При условии \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\) получим:
\[
\ln|y-1|-\ln|y|=\ln|x|+\ln{C_1};\;\ln\left|\frac{y-1}{y}\right|=\ln\left(C_1\cdot|x|\right);\;\frac{y-1}{y}=C_1\cdot|x|.
\]
Раскрывая модули и переобозначая \(\displaystyle{C=\pm{C_1}}\) (\(\displaystyle{C\neq{0}}\)), получим:
\[
\frac{y-1}{y}=Cx;\;1-\frac{1}{y}=Cx; y=\frac{1}{1-Cx}.
\]
Найденное ранее решение \(\displaystyle{y=1}\) можно получить из выражения \(\displaystyle{y=\frac{1}{1-Cx}}\), положив \(\displaystyle{C=0}\).
Ответ:
\(\displaystyle{y=\frac{1}{1-Cx}}\), \(\displaystyle{y=0}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №14 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №1 | Уравнения первого порядка |
| Задача №3905 |