Задача №1834
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения \(\displaystyle{y'\tg{x}-y=a}\).
Решение
Подстановкой убеждаемся, что \(\displaystyle{y=-a}\) – решение данного уравнения. При условии \(\displaystyle{y\neq{-a}}\) получим:
\[
\tg{x}\frac{dy}{dx}=y+a;\;\frac{dy}{y+a}=\ctg{x}dx.
\]
\[
\int\frac{dy}{y+a}=\int\ctg{x}dx;\;\int\frac{d(y+a)}{y+a}=\int\ctg{x}dx.
\]
При условии \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\) получим:
\[
\ln|y+a|=\ln|\sin{x}|+\ln{C_1};\;\ln|y+a|=\ln\left(C_1\cdot|\sin{x}|\right);\;|y+a|=C_1\cdot|\sin{x}|.
\]
Раскрывая модули и переобозначая \(\displaystyle{C=\pm{C_1}}\) (\(\displaystyle{C\neq{0}}\)), получим: \(\displaystyle{y=C\sin{x}-a}\). Найденное ранее решение \(\displaystyle{y=-a}\) можно получить из выражения \(\displaystyle{y=C\sin{x}-a}\), положив \(\displaystyle{C=0}\).
Ответ:
\(\displaystyle{y=C\sin{x}-a}\), \(\displaystyle{C\in{R}}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №14 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №1 | Уравнения первого порядка |
| Задача №3904 |