Задача №1831
Условие
Найти общее решение дифференциального уравнения \(\displaystyle{\left(xy^2+x\right)dx+\left(y-x^2y\right)dy=0}\).
Решение
Непосредственной проверкой убеждаемся, что \(\displaystyle{x=-1}\) и \(\displaystyle{x=1}\) – решения данного уравнения. При условии \(\displaystyle{x\neq{\pm{1}}}\) получим:
\[
x\left(y^2+1\right)dx+y\left(1-x^2\right)dy=0;\;\frac{ydy}{y^2+1}=\frac{xdx}{x^2-1}.
\]
\[
\int\frac{ydy}{y^2+1}=\int\frac{xdx}{x^2-1};\;\int\frac{d\left(y^2+1\right)}{y^2+1}=\int\frac{d\left(x^2-1\right)}{x^2-1}.
\]
При \(\displaystyle{C_1\gt{0}}\) получим:
\[
\ln\left|y^2+1\right|=\ln\left|x^2-1\right|+\ln{C_1};\;\ln\left|y^2+1\right|=\ln\left(C_1\cdot\left|x^2-1\right|\right);\;\left|y^2+1\right|=C_1\left|x^2-1\right|.
\]
Раскрывая модули и переобозначая \(\displaystyle{C=\pm{C_1}}\) (здесь \(\displaystyle{C\neq{0}}\)), получим: \(\displaystyle{y^2+1=C\left(x^2-1\right)}\).
Ответ:
\(\displaystyle{y^2+1=C\left(x^2-1\right)}\), \(\displaystyle{x=-1}\), \(\displaystyle{x=1}\).
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №14 | Дифференциальные уравнения |
| Параграф №1 | Уравнения первого порядка |
| Задача №3901 |