Задача №1830
Условие
Вычислить интеграл \(\displaystyle{\iint\limits_{S}xyz\,dq}\), где \(\displaystyle{S}\) – часть плоскости \(\displaystyle{x+y+z=1}\), лежащая в первом октанте.
Решение
Так как \(\displaystyle{z=1-x-y}\), то \(\displaystyle{dq=\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy=\sqrt{3}\,dxdy}\).
В проекции на плоскость \(\displaystyle{Oxy}\) получим область, ограниченную прямой \(\displaystyle{y=1-x}\) и осями координат:
Для области \(\displaystyle{D}\) имеем: \(\displaystyle{0\le{x}\le{1}}\), \(\displaystyle{0\le{y}\le{1-x}}\). Так как \(\displaystyle{z=1-x-y}\), то получим:
\[
\iint\limits_{S}xyz\,dq
=\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}xdx\int\limits_{0}^{1-x}\left(y-xy-y^2\right)dy
=\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}x\cdot\left.\left(\frac{y^2}{2}-\frac{xy^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right)\right|_{0}^{1-x}dx=\\
=\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}\left(x\cdot\left(\frac{(1-x)^2}{2}-\frac{x\cdot(1-x)^2}{2}-\frac{(1-x)^3}{3}\right)\right)dx
=\sqrt{3}\cdot\int\limits_{0}^{1}\left(-\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{x}{6}\right)dx=\\
=\sqrt{3}\cdot\left.\left(-\frac{x^5}{30}+\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{12}\right)\right|_{0}^{1}
=\frac{\sqrt{3}}{120}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{120}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №13 | Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности |
| Параграф №3 | Интегралы по поверхности |
| Задача №3877 |