Задача №1828
Условие
Вычислить криволинейный интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{(0,2)}^{(2,1)}2xydx+x^2dy}\) от полного дифференциала.
Решение
Функции \(\displaystyle{P=2xy}\) и \(\displaystyle{Q=x^2}\) непрерывны на всей плоскости.
\[
\frac{\partial{P}}{\partial{y}} = 2x;\;
\frac{\partial{Q}}{\partial{x}} = 2x.
\]
Так как \(\displaystyle{\frac{\partial{P}}{\partial{y}}=\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}}\), то заданный интеграл не зависит от пути интегрирования. Выберем в качестве контура интегрирования прямую \(\displaystyle{y=\frac{x}{2}}\), соединяющую точки \(\displaystyle{(0,0)}\) и \(\displaystyle{(2,1)}\):
\[
\int\limits_{(0,2)}^{(2,1)}2xydx+x^2dy
=\int\limits_{0}^{2}\left(2x\cdot\frac{x}{2}+x^2\cdot\frac{1}{2}\right)dx
=\frac{3}{2}\int\limits_{0}^{2}x^2dx
=4.
\]
Ответ:
4Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №13 | Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности |
| Параграф №2 | Криволинейные интегралы по координатам |
| Задача №3839 |