Задача №1827
Условие
Вычислить интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{L}ydx-xdy}\), где \(\displaystyle{L}\) – эллипс \(\displaystyle{x=a\cos{t}}\), \(\displaystyle{y=b\sin{t}}\), пробегаемый в положительном направлении.
Решение
\[
\int\limits_{L}ydx-xdy
=\int\limits_{0}^{2\pi}\left(b\sin{t}\cdot(-a\sin{t})-a\cos{t}\cdot{b\cos{t}}\right)dt
=-ab\cdot\int\limits_{0}^{2\pi}dt
=-2\pi{ab}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-2\pi{ab}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №13 | Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности |
| Параграф №2 | Криволинейные интегралы по координатам |
| Задача №3814 |