Задача №1823
Условие
Вычислить интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{1-e^{-ax^2}}{xe^{x^2}}dx}\), \(\displaystyle{a\gt{-1}}\) с помощью дифференцирования по параметру.
Решение
Положим \(\displaystyle{f(a)=\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{1-e^{-ax^2}}{xe^{x^2}}dx}\). Тогда дифференцируя по параметру \(\displaystyle{a}\) (с учётом \(\displaystyle{a\gt{-1}}\)), получим:
\[
f'(a)=\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{x^2\cdot{e^{-ax^2}}}{xe^{x^2}}dx
=\int\limits_{0}^{+\infty}x\cdot{e^{-(a+1)x^2}}dx
=-\frac{1}{2\cdot(a+1)}\lim_{b\to+\infty}\int\limits_{0}^{b}{e^{-(a+1)x^2}}d\left(-(a+1)x^2\right)=\\
=-\frac{1}{2\cdot(a+1)}\lim_{b\to+\infty}\left.e^{-(a+1)x^2}\right|_{0}^{b}
=-\frac{1}{2\cdot(a+1)}\lim_{b\to+\infty}\left(\frac{1}{e^{(a+1)\cdot{b^2}}}-1\right)
=\frac{1}{2\cdot(a+1)}.
\]
Так как \(\displaystyle{f'(a)=\frac{1}{2\cdot(a+1)}}\), то получим:
\[
f(a)=\frac{1}{2}\cdot\int\frac{da}{a+1}=\frac{1}{2}\cdot\ln(a+1)+C
\]
Чтобы определить значение константы \(\displaystyle{C}\), найдём значение \(\displaystyle{f(0)}\):
\[
f(0)=\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{1-e^{-0\cdot{x^2}}}{xe^{x^2}}dx=0
\]
Тогда с учётом \(\displaystyle{f(0)=0}\), получим:
\[
0=\frac{1}{2}\cdot\ln(0+1)+C;\;C=0.
\]
Следовательно, \(\displaystyle{f(a)=\frac{1}{2}\cdot\ln(a+1)}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{\ln(a+1)}{2}}\).Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №12 | Многомерные интегралы и кратное интегрирование |
| Параграф №5 | Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра |
| Задача №3738 |