Задача №1822
Условие
Найти двойным интегрированием площадь области, ограниченной прямыми \(\displaystyle{x=0}\), \(\displaystyle{y=0}\), \(\displaystyle{x+y=1}\).
Решение
Прямая \(\displaystyle{y=1-x}\) пересекает прямые \(\displaystyle{x=0}\), \(\displaystyle{y=0}\), т.е. оси координат, в точках \(\displaystyle{(0;1)}\) и \(\displaystyle{(1;0)}\).
Область \(\displaystyle{D}\) определяется такими неравенствами: \(\displaystyle{0\le{x}\le{1}}\), \(\displaystyle{0\le{y}\le{1-x}}\).
\[
S=\iint\limits_{D}dxdy
=\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{1-x}dy
=\int\limits_{0}^{1}\left.y\right|_{0}^{1-x}dx
=\int\limits_{0}^{1}(1-x)dx
=\left.\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\right|_{0}^{1}
=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №12 | Многомерные интегралы и кратное интегрирование |
| Параграф №4 | Применение двойных и тройных интегралов |
| Задача №3597 |