Задача №1821
Условие
Двойной интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{R}dx\int\limits_{0}^{\sqrt{R^2-x^2}}f(x,y)dy}\) преобразовать к полярным координатам.
Решение
Неравенства \(\displaystyle{0\le{x}\le{R}}\) и \(\displaystyle{0\le{y}\le\sqrt{R^2-x^2}}\) определяют область в первой координатной четверти, ограниченную окружностью \(\displaystyle{x^2+y^2=R^2}\) (центр в начале координат, радиус \(\displaystyle{R}\)) и осями координат.
В полярной системе координат уравнение окружности будет таким: \(\displaystyle{\rho=R}\). Для заданной области имеем: \(\displaystyle{0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}}\), \(\displaystyle{0\le\rho\le{R}}\).
\[
\int\limits_{0}^{R}dx\int\limits_{0}^{\sqrt{R^2-x^2}}f(x,y)dy
=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int\limits_{0}^{R}\rho{f(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi)}d\rho
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int\limits_{0}^{R}\rho{f(\rho\cos\varphi,\rho\sin\varphi)}d\rho}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №12 | Многомерные интегралы и кратное интегрирование |
| Параграф №3 | Интегралы в полярных, цилиндрических и сферических координатах |
| Задача №3532 |