Задача №1820
Условие
Вычислить интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{a}dx\int\limits_{0}^{x}dy\int\limits_{0}^{y}xyzdz}\).
Решение
\[
\int\limits_{0}^{a}xdx\int\limits_{0}^{x}ydy\int\limits_{0}^{y}zdz
=\int\limits_{0}^{a}xdx\int\limits_{0}^{x}y\cdot\left.\frac{z^2}{2}\right|_{0}^{y}dy=\\
=\frac{1}{2}\cdot\int\limits_{0}^{a}xdx\int\limits_{0}^{x}y^3 dy
=\frac{1}{2}\cdot\int\limits_{0}^{a}x\cdot\left.\frac{y^4}{4}\right|_{0}^{x}dx
=\frac{1}{8}\cdot\int\limits_{0}^{a}x^5dx
=\frac{1}{8}\cdot\left.\frac{x^6}{6}\right|_{0}^{a}
=\frac{a^6}{48}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{a^6}{48}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №12 | Многомерные интегралы и кратное интегрирование |
| Параграф №2 | Кратное интегрирование |
| Задача №3519 |