Задача №1816
Условие
Написать уравнения касательной и нормали к линии \(\displaystyle{\cos{xy}=x+2y}\) в точке \(\displaystyle{(1,0)}\).
Решение
\[F(x,y)=\cos{xy}-x-2y\]
\[
y'=-\frac{F'_{x}}{F'_{y}}
=-\frac{-y\sin{xy}-1}{-x\sin{xy}-2}
=-\frac{y\sin{xy}+1}{x\sin{xy}+2}
\]
В точке \(\displaystyle{(1,0)}\) имеем: \(\displaystyle{y'=-\frac{1}{2}}\).
Уравнение касательной: \(\displaystyle{y-0=-\frac{1}{2}\cdot(x-1)}\), \(\displaystyle{y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\).
Уравнение нормали: \(\displaystyle{y-0=2\cdot(x-1)}\), \(\displaystyle{y=2x-2}\).
Ответ:
- Касательная: \(\displaystyle{y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\)
- Нормаль: \(\displaystyle{y=2x-2}\)
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №11 | Применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных |
| Параграф №2 | Плоские линии |
| Задача №3326 |