Задача №1812
Условие
Найти производную \(\displaystyle{\frac{\partial{y}}{\partial{x}}}\) от функции \(\displaystyle{ye^x+e^y=0}\), заданной неявно.
Решение
Обозначим \(\displaystyle{F(x,y)=ye^x+e^y}\). С учётом \(\displaystyle{e^y=-ye^x}\), получим:
\[
\begin{aligned}
& F'_{x}=ye^x;\\
& F'_y=e^x+e^y=e^x-ye^x=-e^x\cdot(y-1).
\end{aligned}
\]
\[
\frac{\partial{y}}{\partial{x}}
=-\frac{F'_{x}}{F'_{y}}
=-\frac{ye^x}{-e^x\cdot(y-1)}
=\frac{y}{y-1}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{y}{y-1}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №10 | Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление |
| Параграф №4 | Дифференцирование функций |
| Задача №3154 |