Задача №1811
Условие
\(\displaystyle{u=\sin{x}+F(\sin{y}-\sin{x})}\); убедиться, что
\[
\frac{\partial{u}}{\partial{y}}\cos{x}+\frac{\partial{u}}{\partial{x}}\sin{x} = \cos{x}\cos{y},
\]
какова бы ни была дифференцируемая функция \(\displaystyle{F}\).
Решение
Обозначим \(\displaystyle{v(x,y)=\sin{y}-\sin{x}}\).
\[
\begin{aligned}
& \frac{\partial{u}}{\partial{x}}
= \cos{x} + \frac{\partial{F}}{\partial{v}}\cdot\frac{\partial{v}}{\partial{x}}
= \cos{x} - \frac{\partial{F}}{\partial{v}}\cos{x};\\
& \frac{\partial{u}}{\partial{y}}
=\frac{\partial{F}}{\partial{v}}\cdot\frac{\partial{v}}{\partial{y}}
=\frac{\partial{F}}{\partial{v}}\cos{y}.
\end{aligned}
\]
\[
\frac{\partial{u}}{\partial{y}}\cos{x}+\frac{\partial{u}}{\partial{x}}\sin{x}
=\frac{\partial{F}}{\partial{v}}\cos{y}\cos{x} + \left( \cos{x} - \frac{\partial{F}}{\partial{v}}\cos{x} \right)\cdot\cos{y}
=\cos{x}\cos{y}
\]
Равенство доказано.
Ответ:
Равенство доказано.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №10 | Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление |
| Параграф №4 | Дифференцирование функций |
| Задача №3139 |