Задача №1807
Условие
Вычислить интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{0{,}5}\frac{dx}{1+x^4}}\).
Решение
\[
\frac{1}{1+x^4}
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(x^4\right)^n
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{4n}
\]
\[
\int\limits_{0}^{0{,}5}\frac{dx}{1+x^4}
=\int\limits_{0}^{0{,}5}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{4n}dx
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int\limits_{0}^{0{,}5}x^{4n}dx=\\
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot\left.\frac{x^{4n+1}}{4n+1}\right|_{0}^{1/2}
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{4n+1}\cdot(4n+1)}
=\frac{1}{2}-\frac{1}{160}+\frac{1}{4608}-\ldots
\]
Так как \(\displaystyle{\frac{1}{4608}\lt{0{,}001}}\), то для требуемой точности достаточно взять первые два члена ряда:
\[
\int\limits_{0}^{0{,}5}\frac{dx}{1+x^4}
\approx{\frac{1}{2}-\frac{1}{160}}
=\frac{79}{160}\approx{0{,}494}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{0{,}494}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №4 | Некоторые применения рядов Тейлора |
| Задача №2938 |