Задача №1806
Условие
Пользуясь формулой разложения в ряд Маклорена функций \(\displaystyle{e^x}\), \(\displaystyle{\sin{x}}\), \(\displaystyle{\cos{x}}\), вычислить \(\displaystyle{\frac{1}{e}}\) с точностью до \(\displaystyle{0{,}0001}\).
Решение
Используем формулу \(\displaystyle{e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}}\). Подставляя \(\displaystyle{x=-1}\), будем иметь:
\[
\frac{1}{e}
=e^{-1}
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}
=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+...
\]
Получили сходящийся знакочередующийся ряд. Так как \(\displaystyle{\frac{1}{8!}\lt{0{,}0001}}\), то для заданной точности достаточно найти сумму первых восьми членов полученного числового ряда:
\[
\frac{1}{e}
\approx\sum\limits_{n=0}^{7}\frac{(-1)^n}{n!}
=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}-\frac{1}{120}+\frac{1}{720}-\frac{1}{5040}
\approx{0{,}3679}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{0{,}3679}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №4 | Некоторые применения рядов Тейлора |
| Задача №2899 |