Задача №1805

Условие

Разложить функцию \(\displaystyle{y=\frac{1}{x}}\) в ряд Тейлора в окрестности точки \(\displaystyle{x=3}\).

Решение

\[y(3)=\frac{1}{3}\]

Найдём формулу для \(\displaystyle{y^{(n)}}\):

\[ \begin{aligned} & y'=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2};\\ & y''=-1\cdot(-2)\cdot{x^{-3}};\\ & y'''=-1\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot{x^{-4}}. \end{aligned} \]

На основании полученных результатов сделаем предположение, что производная n-го порядка имеет такой вид:

\[y^{(n)}=-1\cdot(-2)\cdot\ldots\cdot{x^{-(n+1)}}=(-1)^n\cdot{n!}\cdot{x^{-(n+1)}}\]

Докажем эту гипотезу методом математической индукции. При \(\displaystyle{n=1}\) формула верна, т.е. \(\displaystyle{y'=-1\cdot{1!}\cdot{x^{-2}}=-\frac{1}{x^2}}\). Пусть формула верна при \(\displaystyle{n=k}\), т.е \(\displaystyle{y^{(k)}=(-1)^k\cdot{k!}\cdot{x^{-(k+1)}}}\). Покажем, что формула остаётся истинной и при \(\displaystyle{n=k+1}\):

\[ y^{(k+1)} =\left(y^{(k)}\right)' =\left((-1)^k\cdot{k!}\cdot{x^{-(k+1)}}\right)' =(-1)^k\cdot{k!}\cdot(-(k+1)){x^{-(k+1)-1}} =(-1)^{k+1}\cdot{(k+1)!}\cdot{x^{-(k+2)}} \]

Итак, формула для \(\displaystyle{y^{(n)}}\) верна при всех \(\displaystyle{n\in{N}}\). Подставляя \(\displaystyle{x=3}\), будем иметь:

\[y^{(n)}(3)=\frac{(-1)^n\cdot{n!}}{3^{n+1}}\]

Запишем разложение функции в ряд Тейлора:

\[ y=y(3)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{y^{(n)}(3)\cdot(x-3)^n}{n!} =\frac{1}{3}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(x-3)^n}{3^{n+1}} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(x-3)^n}{3^{n+1}} \]

Ответ:

\(\displaystyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(x-3)^n}{3^{n+1}}}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №9	Ряды
Параграф №3	Степенные ряды
Задача №2843