Задача №1804

Условие

Убедиться, что функция \(\displaystyle{y=f(x)}\), определяемая рядом \(\displaystyle{x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\ldots+\frac{x^n}{(n-1)!}+\ldots}\) удовлетворяет соотношению \(\displaystyle{xy'=y(x+1)}\).

Решение

В принципе, несложно показать, что данный степенной ряд сходится при \(\displaystyle{x\in{R}}\), посему он почленно дифференцируем на R. Затем можно непосредственно проверить равенство указанное в условии, записав, для краткости, \(\displaystyle{f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}}\):

\[ xy'=x\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)x^{n}}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}(n+1)}{n!};\\ y(x+1)=(x+1)\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n-1)!}+x+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}=\\ =x+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n+1}+x^{n+1}}{n!} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}(n+1)}{n!}. \]

Однако такие преобразования мне вовсе не кажутся очевидными. Гораздо лучше, с моей точки зрения, вспомнить разложение \(\displaystyle{e^x}\) в ряд Маклорена, записав заданную функцию в такой форме:

\[ f(x) =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!} =x\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} =xe^x \]

Тогда проверка заданного равенства становится банальной:

\[ xy'-y(x+1) =x\left(e^x+xe^x\right)-xe^x(x+1) =0 \]

Ответ:

Утверждение доказано.

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №1	Берман "Сборник задач по курсу математического анализа"
Глава №9	Ряды
Параграф №2	Функциональные ряды
Задача №2840