Задача №1803

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n(x)=x^n\tg\frac{x}{2^n}}\). Выясним, при каких значениях переменной \(\displaystyle{x}\) определены функции \(\displaystyle{u_n(x)}\). Для этого найдём точки, в которых \(\displaystyle{\tg\frac{x}{2^n}}\) не существует:

Итак, если \(\displaystyle{x=2^n\left(\frac{\pi}{2}+\pi{k}\right)}\), то одна из функций \(\displaystyle{u_n(x)}\) будет не определена. Обозначим множество всех найденных чисел как \(\displaystyle{D}\), т.е.

Таким образом, функции \(\displaystyle{u_n(x)}\) определены на множестве \(\displaystyle{X=R\setminus{D}}\).

В дальнейшем нам придётся, применяя признак Д'Аламбера к ряду \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|}\), найти предел выражения \(\displaystyle{\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|}\). Признак Д'Аламбера применим, если начиная с некоего номера \(\displaystyle{n_0}\) члены ряда строго положительны.

Если \(\displaystyle{x=0}\), то \(\displaystyle{u_n(x)=0}\), т.е. ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|}\) сходится.

Если же \(\displaystyle{x\in{X}\setminus\{0\}}\), то, очевидно, найдётся такой номер \(\displaystyle{n_0}\), начиная с которого будет выполнено неравенство \(\displaystyle{\frac{|x|}{2^n}\lt\frac{\pi}{2}}\), т.е. \(\displaystyle{-\frac{\pi}{2}\lt\frac{x}{2^n}\lt\frac{\pi}{2}}\). Например, если \(\displaystyle{n\ge\Bigl[\log_2|x|\Bigr]}\), то \(\displaystyle{\frac{|x|}{2^n}\le{1}\lt\frac{\pi}{2}}\). Это значит, что начиная с номера \(\displaystyle{n_0=\Bigl[\log_2|x|\Bigr]}\) имеем \(\displaystyle{\tg\frac{x}{2^n}\neq{0}}\), откуда следует \(\displaystyle{u_n(x)\neq{0}}\).

Таким образом, мы можем применить к ряду \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|}\) признак Д'Аламбера при условии \(\displaystyle{x\in{X}\setminus\{0\}}\).

Рассмотрим сперва случай \(\displaystyle{\frac{|x|}{2}\lt{1}}\), т.е. \(\displaystyle{-2\lt{x}\lt{2}}\).

Если \(\displaystyle{x\in(-2;2)}\) и \(\displaystyle{x\in{X}\setminus\{0\}}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|}\) сходится, поэтому исходный ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)}\) сходится абсолютно.

Условие \(\displaystyle{x\in{X}\setminus\{0\}}\) можно изменить. При \(\displaystyle{x=0}\) ряд сходится, поэтому исключать точку \(\displaystyle{x=0}\) из интервала \(\displaystyle{(-2;2)}\) сейчас уже нет необходимости. А вот в чём есть необходимость, так это в том, чтобы на полученный интервал \(\displaystyle{(-2;2)}\) не попали точки из множества \(\displaystyle{D}\). Проверим, может ли при неких значениях \(\displaystyle{n\in{N}}\) и \(\displaystyle{k\in{Z}}\) некий элемент множества \(\displaystyle{D}\) принадлежать рассматриваемому интервалу:

Так как \(\displaystyle{n\in{N}}\) и \(\displaystyle{k\in{Z}}\), то \(\displaystyle{\left|k+\frac{1}{2}\right|\ge\frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{\frac{1}{\pi\cdot{2^{n-1}}}\le\frac{1}{\pi}}\). Так как \(\displaystyle{\frac{1}{2}\gt\frac{1}{\pi}}\), то неравенство \(\displaystyle{\left|k+\frac{1}{2}\right|\lt\frac{1}{\pi\cdot{2^{n-1}}}}\) не может быть истинным ни при каких значениях \(\displaystyle{n\in{N}}\) и \(\displaystyle{k\in{Z}}\).

Это значит, что \(\displaystyle{(-2;2)\subset{X}}\), что и требовалось выяснить. Итак, если \(\displaystyle{x\in(-2;2)}\), то функциональный ряд сходится абсолютно.

Если же \(\displaystyle{\frac{|x|}{2}\gt{1}}\) и \(\displaystyle{x\in{X}}\), то (см. доказательство признака Д'Аламбера) имеем \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left|u_n(x)\right|\neq{0}}\), т.е. \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n(x)\neq{0}}\), что означает расходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)}\) ввиду невыполнения необходимого условия сходимости.

Осталось проверить сходимость на концах интервала \(\displaystyle{(-2;2)}\).

Если \(\displaystyle{x=2}\), то получим:

Проверим выполнение необходимого условия сходимости:

Так как \(\displaystyle{2\neq{0}}\), то ряд расходится.

Если \(\displaystyle{x=-2}\), то получим:

Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left(2^n\tg\frac{1}{2^{n-1}}\right)\neq{0}}\), то ряд расходится.

Таким образом, подводя итоги, имеем, что область сходимости есть интервал \(\displaystyle{(-2;2)}\).