Задача №1802

Решение

Это степенной ряд. Обозначим \(\displaystyle{a_n=\frac{1}{n+\sqrt{n}}}\), тогда \(\displaystyle{a_{n+1}=\frac{1}{n+1+\sqrt{n+1}}}\). Радиус сходимости будет таким:

Интервал сходимости: \(\displaystyle{-1\lt{x}\lt{1}}\).

Если \(\displaystyle{x=1}\), то \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+\sqrt{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}}\).

Гармонический ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}}\).

Если \(\displaystyle{x=-1}\), то получим знакочередующийся ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+\sqrt{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+\sqrt{n}}}\). Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}=0}\) и \(\displaystyle{\frac{1}{n+\sqrt{n}}\gt\frac{1}{n+1+\sqrt{n+1}}}\), то для данного ряда выполнены оба условия признака Лейбница, т.е. ряд сходится. Стоит отметить, что из расходимости ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}}\) следует, что ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+\sqrt{n}}}\) сходится условно.

Следовательно, область сходимости будет такой: \(\displaystyle{-1\le{x}\lt{1}}\).