Задача №1802
Определить область сходимости ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+\sqrt{n}}\).
Это степенной ряд. Обозначим \(a_n=\frac{1}{n+\sqrt{n}}\), тогда \(a_{n+1}=\frac{1}{n+1+\sqrt{n+1}}\). Радиус сходимости будет таким:
Интервал сходимости: \(-1\lt{x}\lt{1}\).
Если \(x=1\), то \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+\sqrt{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}\).
Гармонический ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) расходится, поэтому согласно признаку сравнения будет расходиться и ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}\).
Если \(x=-1\), то получим знакочередующийся ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+\sqrt{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+\sqrt{n}}\). Так как \(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}=0\) и \(\frac{1}{n+\sqrt{n}}\gt\frac{1}{n+1+\sqrt{n+1}}\), то для данного ряда выполнены оба условия признака Лейбница, т.е. ряд сходится. Стоит отметить, что из расходимости ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}\) следует, что ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+\sqrt{n}}\) сходится условно.
Следовательно, область сходимости будет такой: \(-1\le{x}\lt{1}\).