Задача №1801

Решение

Это степенной ряд. Обозначим \(\displaystyle{a_n=n(n+1)}\), тогда \(\displaystyle{a_{n+1}=(n+1)(n+2)}\). Радиус сходимости будет таким:

Интервал сходимости: \(\displaystyle{-1\lt{x}\lt{1}}\).

Если \(\displaystyle{x=1}\), то \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)}\). Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}n(n+1)\neq{0}}\), то данный ряд расходится вследствие невыполнения необходимого условия сходимости.

Если \(\displaystyle{x=-1}\), то получим знакочередующийся ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}n(n+1)}\). Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}n(n+1)\neq{0}}\), то данный ряд расходится.

Следовательно, область сходимости будет такой: \(\displaystyle{-1\lt{x}\lt{1}}\).