Задача №1800

Решение

Функции \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{1+x^n}}\) при чётных \(\displaystyle{n}\) определены на \(\displaystyle{R}\), а при нечётных значениях \(\displaystyle{n}\) определены на множестве \(\displaystyle{X=R\setminus\{-1\}}\). Соответственно, исследовать на сходимость заданный ряд станем при \(\displaystyle{x\in{X}}\).

Рассмотрим ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|}\) при условии \(\displaystyle{x\in{X}}\). Применим признак Д'Аламбера:

Если \(\displaystyle{|x|\gt{1}}\), то будем иметь:

При \(\displaystyle{|x|\gt{1}}\) имеем \(\displaystyle{\frac{1}{|x|}\lt{1}}\), т.е. ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|}\) сходится, посему исходный ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)}\) сходится абсолютно.

Если же \(\displaystyle{|x|\lt{1}}\), то \(\displaystyle{x^n\to{0}}\), поэтому \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right|=1}\). Отмечу, что тот же результат получим при условии \(\displaystyle{x=1}\). Признак Д'Аламбера не даёт ответа на вопрос сходимости ряда. Проверим выполнение необходимого условия сходимости. Если \(\displaystyle{|x|\lt{1}}\), то имеем:

При \(\displaystyle{x=1}\) имеем:

Итак, если \(\displaystyle{|x|\lt{1}}\) или \(\displaystyle{x=1}\), то необходимое условие сходимости не выполнено, поэтому ряд расходится.

Следовательно, ряд сходится (абсолютно) при \(\displaystyle{|x|\gt{1}}\), т.е. \(\displaystyle{x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)}\).