Задача №1798

Решение

Это степенной ряд. Обозначим \(\displaystyle{a_n=\frac{1}{n^2}}\), тогда \(\displaystyle{a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2}}\). Радиус сходимости будет таким:

Интервал сходимости: \(\displaystyle{-1\lt{x}\lt{1}}\).

Если \(\displaystyle{x=1}\), то \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\). Так как степень \(\displaystyle{2\gt{1}}\), то данный числовой ряд сходится.

Если \(\displaystyle{x=-1}\), то получим знакочередующийся ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}}\). Так как ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\) сходится, то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}}\) сходится абсолютно.

Следовательно, область сходимости будет такой: \(\displaystyle{-1\le{x}\le{1}}\).