Задача №1797

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n(x)=x^{n^2}}\). Функции \(\displaystyle{u_n(x)}\) определены при \(\displaystyle{x\in{R}}\). Применим к ряду \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|}\) радикальный признак Коши:

Рассмотрим сперва случай \(\displaystyle{|x|\lt{1}}\), т.е. \(\displaystyle{-1\lt{x}\lt{1}}\). В этом случае имеем \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}|x|^n=0}\), т.е. ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|}\) сходится, поэтому ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)}\) сходится абсолютно.

Если \(\displaystyle{|x|=1}\), то \(\displaystyle{x=-1}\) или \(\displaystyle{x=1}\). При \(\displaystyle{x=-1}\) имеем знакочередующийся ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}}\), а при \(\displaystyle{x=1}\) получим ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}1}\). Оба указанных выше ряда расходятся ввиду невыполнения необходимого условия сходимости.

Если же \(\displaystyle{|x|\gt{1}}\), то \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}|x|^n=\infty}\), поэтому (см. доказательство радикального признака Коши) имеем \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left|u_n(x)\right|\neq{0}}\), т.е. \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n(x)\neq{0}}\), что означает расходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)}\) ввиду невыполнения необходимого условия сходимости.

Таким образом, область сходимости есть интервал \(\displaystyle{\left(-1;1\right)}\).