Задача №1796

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n(x)=\ln^n{x}}\). Функции \(\displaystyle{u_n(x)}\) определены при \(\displaystyle{x\gt{0}}\). Применим к ряду \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|}\) радикальный признак Коши:

Рассмотрим сперва случай \(\displaystyle{|\ln{x}|\lt{1}}\):

Итак, если \(\displaystyle{x\in\left(\frac{1}{e};e\right)}\), то ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|u_n(x)\right|}\) сходится, поэтому ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)}\) сходится абсолютно.

Если же \(\displaystyle{|\ln{x}|=1}\), то \(\displaystyle{x=\frac{1}{e}}\) или \(\displaystyle{x=e}\). При \(\displaystyle{x=\frac{1}{e}}\) имеем ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n}\), а при \(\displaystyle{x=e}\) получим ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}1}\). Оба указанных выше ряда расходятся ввиду невыполнения необходимого условия сходимости.

Если же \(\displaystyle{|\ln{x}|\gt{1}}\), то (см. доказательство радикального признака Коши) имеем \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left|u_n(x)\right|\neq{0}}\), т.е. \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n(x)\neq{0}}\), что означает расходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)}\) ввиду невыполнения необходимого условия сходимости.

Таким образом, область сходимости есть интервал \(\displaystyle{\left(\frac{1}{e};e\right)}\).