Задача №1795

Решение

В принципе, можно сразу заметить, что данный ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым членом \(\displaystyle{b_1=1}\) и знаменателем \(\displaystyle{q=x}\). Соответственно, ряд сходится, если \(\displaystyle{|x|\lt{1}}\).

Или же можно отметить, что это степенной ряд, для которого \(\displaystyle{a_n=a_{n+1}=1}\). Радиус сходимости, соответственно, будет таким:

Интервал сходимости: \(\displaystyle{-1\lt{x}\lt{1}}\).

На концах интервала сходимости имеем ряды \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}1}\) и \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n}\). Оба данных ряда расходится вследствие невыполнения необходимого условия сходимости.

Следовательно, область сходимости будет такой: \(\displaystyle{-1\lt{x}\lt{1}}\).