Задача №1794
Условие
Показать, что если ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}}\) абсолютно сходится, то и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n}a_{n}}\) также абсолютно сходится.
Решение
\[
\left|\frac{n+1}{n}a_{n}\right|
=\frac{n+1}{n}\cdot|a_n|
\le\frac{n+n}{n}\cdot|a_n|
=2\cdot|a_n|
\]
Абсолютная сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}}\) означает, что ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{n}|}\) сходится, посему будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(2\cdot|a_{n}|\right)}\). Следовательно, согласно признаку сравнения ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{n+1}{n}a_{n}\right|}\) сходится, что и означает абсолютную сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n}a_{n}}\).
Ответ:
Утверждение доказано.
Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2801 |