Задача №1793

Решение

Из очевидного неравенства \(\displaystyle{(|a_n|-|b_n|)^2\gt{0}}\) имеем:

Ряды \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}}\) и \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}}\) сходятся, поэтому будет сходиться и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\cdot\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)\right)}\). Из сходимости данного ряда согласно признаку сравнения следует сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|{a_n}{b_n}|}\). Сходимость данного ряда означает абсолютную сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}{b_n}}\).