Задача №1792
Условие
Исследовать на сходимость ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{2^{n^2}}}{n!}}\).
Решение
Заданный ряд является знакочередующимся. Рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда: \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}\cdot{2^{n^2}}}{n!}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n^2}}{n!}}\). Докажем вспомогательный предел, применив правило Лопиталя:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{2^{2x+1}}{x+1}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{2^{2x+1}\ln{2}\cdot{2}}{1}
=+\infty
\]
Применяем признак Д'Аламбера:
\[
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^{(n+1)^2}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^{n^2}}\right)
=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{2n+1}}{n+1}
=\infty
\]
Ряд из модулей расходится. Более того (см. доказательство признака Д'Аламбера) делаем вывод, что \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n^2}}{n!}\neq{0}}\). Следовательно, исходный ряд расходится.
Ответ:
ряд расходится.Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №9 | Ряды |
| Параграф №1 | Числовые ряды |
| Задача №2799 |